Fórmula de produto cruzado de vetores - Exemplos com o modelo do Excel

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Anonim

Fórmula de produto cruzado de vetor (sumário)

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O que é a fórmula de produto vetorial cruzada?

Na álgebra vetorial e na matemática, o termo "produto cruzado vetorial" refere-se às operações binárias entre vetores na geometria tridimensional. O produto cruzado é representado por um sinal cruzado “x” entre os dois vetores e a operação do produto cruzado resulta em outro vetor que é perpendicular ao plano que contém os dois vetores iniciais. A fórmula para o produto cruzado de vetor pode ser derivada multiplicando os valores absolutos dos dois vetores e o seno do ângulo entre os dois vetores. Matematicamente, vamos assumir que a e b são dois vetores, tais que a = a 1 i + a 2 j + a 3 k e b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, o produto cruzado vetorial é representado como,

ax b = |a| |b| sinθ n

onde θ = ângulo entre a e b

| a | = √ (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 )

| b | = √ (b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 )

n = vetor unitário perpendicular a ambos a e b

Além disso, o produto cruzado vetorial também pode ser expandido para seus componentes vetoriais tridimensionais, ie i, j e k, que são todos perpendiculares entre si. A fórmula para o produto cruzado de vetor é representada como,

ax b = i (a 2 b 3 – a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 – a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 – a 2 b 1 )

Exemplos de fórmula de produto cruzado de vetor (com modelo do Excel)

Vamos dar um exemplo para entender o cálculo do Produto Vector Cross de uma maneira melhor.

Você pode fazer o download deste modelo de vetor de fórmula cruzada de produtos do Excel aqui -

Fórmula de produto cruzado de vetor - exemplo # 1

Vamos dar o exemplo de dois vetores a e b de modo que sua magnitude escalar seja | a | = 5 e | b | = 3, enquanto o ângulo entre os dois vetores é 30 graus. Calcule o produto cruzado de vetor dos dois vetores.

Solução:

O produto cruzado vetorial dos dois vetores é calculado usando a fórmula abaixo

machado b = | a | | b | sinθ n

  • machado b = 5 * 3 * sin30 n
  • machado b = 7, 5 n

Portanto, o produto cruzado de vetor dos dois vetores é 7, 5.

Fórmula de produto cruzado de vetor - exemplo # 2

Vamos dar o exemplo de dois vetores a (4, 2, -5) e b (2, -3, 7) tal que a = 4i + 2j - 5k e b = 2i - 3j + 7k. Calcule o produto cruzado de vetor dos dois vetores.

Solução:

O produto cruzado vetorial dos dois vetores é calculado usando a fórmula abaixo

machado b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )

  • machado b = i (2 * 7 - (-5) * (-3)) + j ((-5) * 2 - 4 * 7) + k (4 * (-3) - 2 * 2)
  • machado b = -i + ( - 38 j ) + ( - 16 k )

Portanto, o produto cruzado vetorial dos dois vetores (4, 2, -5) e (2, -3, 7) é (-1, -38, -16).

Fórmula de produto cruzado de vetor - exemplo # 3

Tomemos o exemplo de um paralelogramo cujos lados adjacentes são definidos pelos dois vetores a (6, 3, 1) e b (3, -1, 5) tal que a = 6i + 3j + 1k e b = 3i - 1j + 5k. Calcule a área do paralelogramo.

Solução:

Agora, o produto cruzado vetorial dos dois vetores pode ser calculado usando a fórmula acima, como

machado b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )

  • machado b = i (3 * 5 - 1 * (-1)) + j (1 * 3 - 6 * 5) + k (6 * (-1) - 3 * 3)
  • machado b = 16 i + ( - 27 j ) + ( - 15 k )

Agora, a área do paralelogramo pode ser derivada calculando a magnitude do produto cruzado de vetor como,

  • machado b = √ ((16) 2 + (-27) 2 + (-15) 2 )
  • machado b = 34, 79

Portanto, a área do paralelogramo é 34.79.

Explicação

A fórmula para o produto cruzado de vetor pode ser derivada usando as seguintes etapas:

Etapa 1: primeiro, determine o primeiro vetor a e seus componentes vetoriais.

Etapa 2: em seguida, determine o segundo vetor b e seus componentes vetoriais.

Etapa 3: Em seguida, determine o ângulo entre o plano dos dois vetores, que é denotado por θ .

Etapa 4: finalmente, a fórmula para o vetor entre produtos entre vetores a e b pode ser derivado da multiplicação dos valores absolutos do a e b que é então multiplicado pelo seno do ângulo (etapa 3) entre os dois vetores, como mostrado abaixo.

machado b = | a | | b | sinθ n

Relevância e usos da fórmula cruzada de produtos vetoriais

O conceito de produto cruzado vetorial tem diversas aplicações no campo da engenharia, matemática, geometria computacional, física, programação de computadores etc. O conceito subjacente nos ajuda a determinar não apenas a magnitude do componente escalar do produto de dois vetores, mas também Ele também fornece a direção do resultante. Além disso, também é usado para determinar o ângulo entre os planos dos dois vetores. O conceito e as aplicações dos produtos cruzados vetoriais podem ser muito complexos e interessantes.

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