Introdução à função de Bessel
Funções de Bessel, também conhecidas como funções cilíndricas, definidas pelo matemático Daniel Bernoulli e depois generalizadas por Friedrich Bessel, são as soluções da equação diferencial de Bessel de segunda ordem conhecida como equação de Bessel. As soluções dessas equações podem ser do primeiro e do segundo tipo.
x^2y"+xy'+(x^2-n^2) y=0
Quando o método de separação de variáveis é aplicado às equações de Laplace ou à resolução das equações de propagação de calor e onda, elas levam a equações diferenciais de Bessel. O MATLAB fornece essa função complexa e avançada "bessel" e a letra seguida pela palavra-chave decide o primeiro, o segundo e o terceiro tipo de função Bessel.
Tipos de função de Bessel no MATLAB
A solução geral da equação diferencial de Bessel tem duas soluções linearmente dependentes:
Y= A Jν(x)+B Yν(x)
1. Função de Bessel de Primeiro Tipo
Função Bessel do primeiro tipo, Jν (x) é finita em x = 0 para todos os valores reais de v. No MATLAB, é representada pela palavra-chave besselj e segue a sintaxe abaixo:
- Y = besselj (nu, z): Isso retorna a função Bessel do primeiro tipo para cada elemento na matriz Z.
- Y = besselj (nu, Z, escala) : especifica se a função de Bessel deve ser dimensionada exponencialmente. O valor da escala pode ser 0 ou 1, se for 0, não será necessário dimensionar e se o valor for 1, será necessário dimensionar a saída.
- Os argumentos de entrada são nu e z, onde nu é a ordem das equações especificada como um vetor, matriz etc. e é um número real. Z pode ser matriz vetorial, escalar ou multidimensional. Nu e z devem ser do mesmo tamanho ou um deles é escalar.
2. Função de Bessel de Segundo Tipo (Yν (x))
Também é conhecida como função Weber ou Neumann, que é singular em x = 0. No MATLAB, é representado pela palavra-chave bessely e segue a sintaxe abaixo:
- Y = bessely (nu, Z): Calcula a função Bessel do segundo tipo Yν (x) para cada elemento na matriz Z.
- Y = bessely (nu, Z, scale) : especifica se a função Bessel deve ser dimensionada exponencialmente. O valor da escala pode ser 0 ou 1, se for 0, não será necessário dimensionar e se o valor for 1, será necessário dimensionar a saída.
- Os argumentos de entrada são nu e z, onde nu é a ordem das equações especificada como um vetor, matriz etc. e é um número real. Z pode ser matriz vetorial, escalar ou multidimensional. Nu e z devem ser do mesmo tamanho ou um deles é escalar.
3. Função de Bessel de Terceiro Tipo
É representado pela palavra-chave besselh e segue a sintaxe abaixo:
- H = besselh (nu, Z) : Calcula a função Hankel para cada elemento na matriz Z
- H = besselh (nu, K, Z ): Calcula a função Hankel do primeiro ou segundo tipo para cada elemento na matriz Z, onde K pode ser 1 ou 2. Se K é 1, calcula a função Bessel do primeiro tipo e se K é 2, calcula a função de Bessel do segundo tipo.
- H = besselh (nu, K, Z, escala ): especifica se a função de Bessel deve ser dimensionada exponencialmente. O valor da escala pode ser 0 ou 1, se for 0, não será necessário dimensionar e, se o valor for 1, será necessário dimensionar a saída, dependendo do valor de K.
Funções de Bessel modificadas
1. Função de Bessel modificada do primeiro tipo
É representado pela palavra-chave besseli e segue a sintaxe abaixo:
- I = besseli (nu, Z): Calcula a função de Bessel modificada do primeiro tipo I ν ( z ) para cada elemento na matriz Z.
- I = besseli (nu, Z, escala): especifica se a função de Bessel deve ser dimensionada exponencialmente. Se a escala for 0, não haverá escala necessária e se a escala for 1, a saída precisará ser dimensionada.
- Os argumentos de entrada são nu e z, onde nu é a ordem das equações especificada como um vetor, matriz etc. e é um número real. Z pode ser matriz vetorial, escalar ou multidimensional. Nu e z devem ser do mesmo tamanho ou um deles é escalar.
2. Função de Bessel Modificada do Segundo Tipo
É representado pela palavra-chave besselk e segue a sintaxe abaixo:
- K = besselk (nu, Z): Calcula a função Bessel modificada do segundo tipo K ν (z) para cada elemento na matriz Z.
- K = besselk (nu, Z, escala): especifica se a função de Bessel deve ser dimensionada exponencialmente. Se a escala for 0, não haverá escala necessária e a escala será 1; a saída precisará ser dimensionada.
- Os argumentos de entrada são nu e z, onde nu é a ordem das equações especificada como um vetor, matriz etc. e é um número real. Z pode ser matriz vetorial, escalar ou multidimensional. Nu e z devem ser do mesmo tamanho ou um deles é escalar.
Aplicações da função de Bessel
Abaixo estão as diferentes aplicações da função Bessel:
- Processamento de eletrônicos e sinais : O filtro Bessel é usado, seguindo a função Bessel, para preservar um sinal em forma de onda dentro da banda passante. Isso é usado principalmente em sistemas de crossover de áudio. Também é usado na síntese FM (Frequency Modulation) para explicar a distribuição harmônica de um sinal de onda senoidal modulado por outro sinal de onda senoidal. A janela Kaiser que segue a função Bessel pode ser usada no processamento de sinal digital.
- Acústica : é usada para explicar os diferentes modos de vibração em diferentes membranas acústicas, como um tambor.
- Explica a solução da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas e cilíndricas para uma partícula livre.
- Explica a dinâmica dos corpos flutuantes.
- Condução de calor: Equações de fluxo de calor e condução de calor em um cilindro infinito oco podem ser geradas a partir da equação diferencial de Bessel.
Conclusão
Existem muitas outras aplicações que usam funções de Bessel, como design de microfone, design de smartphone, etc. Portanto, é necessário escolher o sistema de coordenadas adequado e, se estivermos lidando com problemas que envolvam coordenadas cilíndricas ou esféricas, a função Bessel é exibida naturalmente.
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