Fórmula de distribuição geométrica (Sumário)

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O que é fórmula de distribuição geométrica?

Na teoria estatística e de probabilidade, uma variável aleatória é dita ter uma distribuição geométrica somente se sua função de densidade de probabilidade puder ser expressa como uma função da probabilidade de sucesso e número de tentativas. De fato, a distribuição geométrica ajuda na determinação da probabilidade da primeira ocorrência de sucesso após um certo número de tentativas, dada a probabilidade de sucesso. Se a probabilidade de sucesso for 'p', então a fórmula para a probabilidade da primeira ocorrência de sucesso após as tentativas de 'k' pode ser derivada multiplicando a probabilidade de sucesso por um menos a probabilidade de sucesso que é elevada ao poder de um número de ensaios menos um. Matematicamente, a função densidade de probabilidade é representada como,

P(X=k) = p * (1 – p) (k – 1)

Onde,

  • p = Probabilidade de Sucesso
  • k = Teste no qual o primeiro sucesso ocorre

Exemplos de fórmula de distribuição geométrica (com modelo do Excel)

Vamos dar um exemplo para entender melhor o cálculo da Distribuição Geométrica.

Você pode fazer o download deste modelo de Excel de fórmula de distribuição geométrica aqui - Modelo de Excel de fórmula de distribuição geométrica

Fórmula de distribuição geométrica - Exemplo # 1

Tomemos o exemplo de um batedor que não conseguiu marcar as sete primeiras bolas, mas atingiu o limite da 8ª entrega que enfrentou. Se a probabilidade do batedor atingir um limite é 0, 25, calcule a probabilidade do batedor atingir o primeiro limite após oito bolas.

Solução:

A probabilidade é calculada usando a fórmula de distribuição geométrica conforme abaixo

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidade = 0, 25 * (1 - 0, 25) (8 - 1)
  • Probabilidade = 0.0334

Portanto, há uma probabilidade de 0, 0334 de que o batedor atinja o primeiro limite após oito bolas.

Fórmula de distribuição geométrica - Exemplo # 2

Agora, vamos aos esportes do futebol e tomemos o exemplo de um jogador de futebol que marca um gol com uma probabilidade de 0, 7 sempre que recebe a bola para si. Determine a probabilidade de o jogador marcar seu primeiro gol depois de:

  • 8 tentativas
  • 6 tentativas
  • 4 tentativas
  • 2 tentativas

Solução:

8 tentativas

A probabilidade é calculada usando a fórmula de distribuição geométrica conforme abaixo

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidade = 0, 7 * (1 - 0, 7) (8 - 1)
  • Probabilidade = 0.00015

6 tentativas

A probabilidade é calculada usando a fórmula de distribuição geométrica conforme abaixo

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidade = 0, 7 * (1 - 0, 7) (6 - 1)
  • Probabilidade = 0.0017

4 tentativas

A probabilidade é calculada usando a fórmula de distribuição geométrica conforme abaixo

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidade = 0, 7 * (1 - 0, 7) (4-1)
  • Probabilidade = 0.0189

2 tentativas

A probabilidade é calculada usando a fórmula de distribuição geométrica conforme abaixo

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilidade = 0, 7 * (1 - 0, 7) (2 - 1)
  • Probabilidade = 0, 21

Portanto, no exemplo acima, pode-se ver que a probabilidade de primeiro sucesso diminui com o aumento do número de tentativas com falha, ou seja, a probabilidade de primeiro sucesso diminuiu de 0, 21 após 2 tentativas para 0, 00015 após 8 tentativas.

Explicação

A fórmula para distribuição geométrica é derivada usando as seguintes etapas:

Etapa 1: Primeiro, determine a probabilidade de sucesso do evento e é indicado por 'p'.

Etapa 2: Em seguida, portanto, a probabilidade de falha pode ser calculada como (1 - p).

Etapa 3: Em seguida, determine o número de tentativas nas quais a primeira instância de sucesso é registrada ou a probabilidade de sucesso é igual a uma. O número de tentativas é indicado por 'k'.

Etapa 4: Finalmente, a fórmula para a probabilidade de primeiro sucesso após testes 'k' pode ser derivada calculando primeiro as falhas prováveis, isto é (1 - p), aumentadas para o número de tentativas falhas antes do primeiro sucesso, ou seja, (k - 1) e, em seguida, multiplicando o resultado para o sucesso da enésima tentativa, como mostrado abaixo.

P (X = k) = p * (1 - p) (k - 1)

Relevância e usos da fórmula de distribuição geométrica

O conceito de distribuição geométrica encontra aplicação na determinação da probabilidade de sucesso após um certo número de tentativas. De fato, o modelo de distribuição geométrica é um caso especial da distribuição binomial negativa e é aplicável apenas para a sequência de ensaios independentes, onde apenas dois resultados são possíveis em cada ensaio. Deve-se notar que, de acordo com esse modelo de distribuição, a cada aumento em várias tentativas com falha, há uma redução significativa na probabilidade de primeiro sucesso. Nesses casos, a distribuição pode ser usada para determinar o número de falhas antes do primeiro sucesso.

Calculadora de fórmula de distribuição geométrica

Você pode usar a seguinte Calculadora de Distribuição Geométrica

p
k
P (X = k)

P (X = k) = p * (1 - p) (k-1)
= 0 * (1 - 0) (0-1) = 0

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Este é um guia para a Fórmula de distribuição geométrica. Aqui discutimos como calcular a distribuição geométrica, juntamente com exemplos práticos. Também fornecemos uma Calculadora de Distribuição Geométrica com o modelo excel para download. Você também pode consultar os seguintes artigos para saber mais -

  1. O que é a fórmula de distribuição hipergeométrica?
  2. Exemplos de fórmula de distribuição de Poisson
  3. Fórmula de distribuição T (exemplos com modelo do Excel)
  4. Calculadora para fórmula de distribuição normal padrão

Categoria:

Desenvolvimento de Empreendedorismo