Fórmula de distribuição hipergeométrica (Sumário)

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O que é a fórmula de distribuição hipergeométrica?

A distribuição hipergeométrica é basicamente uma distribuição discreta de probabilidade nas estatísticas. É muito semelhante à distribuição binomial e podemos dizer que, com confiança, a distribuição binomial é uma ótima aproximação para a distribuição hipergeométrica somente se amostrarmos 5% ou menos da população. Se tivermos sorteios aleatórios, a distribuição hipergeométrica é uma probabilidade de sucesso sem substituir o item que foi sorteado. Mas em uma distribuição binomial, a probabilidade é calculada com substituição. Por exemplo, você tem uma cesta com N bolas das quais “n” são pretas e você desenha bolas “m” sem substituir nenhuma das bolas. Portanto, a distribuição hipergeométrica é a distribuição de probabilidade do número de bolas pretas retiradas da cesta.

Fórmula para distribuição hipergeométrica:

Probability of Hypergeometric Distribution = C(K, k) * C((N – K), (n – k)) / C(N, n)

Onde,

  • K - Número de "sucessos" na população
  • k - Número de "sucessos" na amostra
  • N - Tamanho da população
  • n - tamanho da amostra

Para entender a fórmula da distribuição hipergeométrica, deve-se estar bem ciente da distribuição binomial e também da fórmula de combinação.

Fórmula de combinação:

C (n, r) = n! / (r! * (nr)!)

  • n! - n fatorial = n * (n-1) * (n-2) ……… .. * 1
  • r! - r fatorial = r * (r-1) * (r-2) ……… .. * 1
  • (nr)! - (nr) fatorial = (nr) * (nr-1) * (nr-2) ……… .. * 1

Exemplos de fórmula de distribuição hipergeométrica (com modelo do Excel)

Vamos dar um exemplo para entender melhor o cálculo da Distribuição Hipergeométrica.

Você pode fazer o download deste modelo de fórmula de distribuição hipergeométrica Excel aqui - Modelo de fórmula de distribuição hipergeométrica Excel

Fórmula de Distribuição Hipergeométrica - Exemplo # 1

Digamos que você tenha um baralho de cartas coloridas com 30 cartas, das quais 12 são pretas e 18 são amarelas. Você comprou 5 cartas aleatoriamente sem substituir nenhuma delas. Agora você deseja encontrar a probabilidade exata de 3 cartões amarelos.

Solução:

A distribuição hipergeométrica é calculada usando a fórmula abaixo

Probabilidade de distribuição hipergeométrica = C (K, k) * C ((N - K), (n - k)) / C (N, n)

  • Probabilidade de obter exatamente 3 cartões amarelos = C (18, 3) * C ((30-18), (5-3)) / C (30, 5)
  • Probabilidade de obter exatamente 3 cartões amarelos = C (18, 3) * C (12, 2) / C (30, 5)
  • Probabilidade de obter exatamente 3 cartões amarelos = (18! / (3! * 15!)) * (12! / (2! * 10!)) / (30! / (5! * 25!))
  • Probabilidade de receber exatamente 3 cartões amarelos = 0, 3779

Fórmula de Distribuição Hipergeométrica - Exemplo # 2

Digamos que você mora em uma cidade muito pequena, com 75 mulheres e 95 homens. Agora houve votação na sua cidade e todos votaram. Uma amostra de 20 eleitores foi selecionada aleatoriamente. Você deseja calcular qual é a probabilidade de exatamente 12 desses eleitores serem do sexo masculino.

Solução:

A distribuição hipergeométrica é calculada usando a fórmula abaixo

Probabilidade de distribuição hipergeométrica = C (K, k) * C ((N - K), (n - k)) / C (N, n)

  • Probabilidade de obter 12 eleitores do sexo masculino = C (95, 12) * C ((170-95), (20-12)) / C (170, 20)
  • Probabilidade de obter 12 eleitores do sexo masculino = C (95, 12) * C (75, 8) / C (170, 20)
  • Probabilidade de conseguir 12 eleitores do sexo masculino = (95! / (12! * 83!)) * (75! / (8! * 63!)) / (170! / (20! * 150!))
  • Probabilidade de conseguir 12 eleitores do sexo masculino = 0.1766

Explicação

Como discutido acima, a distribuição hipergeométrica é uma probabilidade de distribuição muito semelhante a uma distribuição binomial, com a diferença de que não há substituição permitida na distribuição hipergeométrica. Para realizar esse tipo de experimento ou distribuição, existem vários critérios que precisam ser atendidos.

  • O primeiro e principal requisito é que os dados coletados sejam de natureza discreta.
  • Cada pick ou draw não deve ser substituído por outro, porque sempre que uma variável aleatória é desenhada sem substituição, ela não é independente e tem relação com o que foi desenhado anteriormente.
  • Deve haver 2 conjuntos de grupos diferentes e você deseja saber a probabilidade de um número específico de membros de um grupo. Por exemplo, no exemplo da votação, temos homens e mulheres. No exemplo de bolsa, temos um grupo amarelo e preto.

Juntamente com essas suposições, o conhecimento da combinação também desempenha um papel vital na realização da distribuição hipergeométrica. Portanto, é imperativo que se conheça os conceitos de combinação antes de proceder à distribuição hipergeométrica.

Relevância e usos da fórmula de distribuição hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica tem muitos usos em estatística e na vida prática. O uso mais comum da distribuição hipergeométrica, que vimos acima nos exemplos, é calcular a probabilidade de amostras quando extraídas de um conjunto sem substituição. Na vida real, o melhor exemplo é a loteria. Assim, em uma loteria, uma vez que o número está esgotado, ele não pode voltar e pode ser substituído, portanto, a distribuição hipergeométrica é perfeita para esse tipo de situação.

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Categoria:

Desenvolvimento de Empreendedorismo